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Q: What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school

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Q: What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school teachers disagree?


Clever student:

 

I know!

x^{0} =  x^{1-1} = x^{1} x^{-1} = \frac{x}{x} = 1.

Now we just plug in x=0, and we see that zero to the zero is one!


Cleverer student:

 

No, you’re wrong! You’re not allowed to divide by zero, which you did in the last step. This is how to do it:

0^{x}0^{1+x-1}0^{1} \times 0^{x-1}0 \times 0^{x-1}0

which is true since anything times 0 is 0. That means that

0^{0} = 0.

Cleverest student :

 

That doesn’t work either, because if x=0 then

0^{x-1} is 0^{-1} = \frac{1}{0}

so your third step also involves dividing by zero which isn’t allowed! Instead, we can think about the function x^{x} and see what happens as x>0 gets small. We have:

\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \exp(\log(x^{x}))

= \lim_{x \to 0^{+}} \exp(x \log(x))

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } x \log(x) )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{\log(x)}{ x^{-1} } )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{ \frac{d}{dx} \log(x) }{ \frac{d}{dx} x^{-1} } )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } \frac{x^{-1}}{- x^{-2}} )

= \exp( \lim_{x \to 0^{+} } -x )

= \exp( 0)

= 1

So, since  \lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1, that means that 0^{0} = 1.


High School Teacher:

 

Showing that x^{x} approaches 1 as the positive value x gets arbitrarily close to zero does not prove that 0^{0} = 1. The variable x having a value close to zero is different than it having a value of exactly zero. It turns out that 0^{0} is undefined. 0^{0} does not have a value.


Calculus Teacher:

 

For all x>0, we have

0^{x} = 0.

Hence,

\lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = 0

That is, as x gets arbitrarily close to 0 (but remains positive), 0^{x} stays at 0.

On the other hand, for real numbers y such that y \ne 0, we have that

y^{0} = 1.

Hence,

\lim_{y \to 0} y^{0} = 1

That is, as y gets arbitrarily close to 0, y^{0} stays at 1.

Therefore, we see that the function f(x,y) = y^{x} has a discontinuity at the point (x,y) = (0,0). In particular, when we approach (0,0) along the line with x=0 we get

\lim_{y \to 0} f(0,y) = 1

but when we approach (0,0) along the line segment with y=0 and x>0 we get

\lim_{x \to 0^{+}} f(x,0) = 0.

Therefore, the value of \lim_{(x,y) \to (0,0)} y^{x} is going to depend on the direction that we take the limit. This means that there is no way to define 0^{0} that will make the function y^{x} continuous at the point (x,y) = (0,0).


Mathematician: Zero raised to the zero power is one. Why? Because mathematicians said so. No really, it’s true.

 

Let’s consider the problem of defining the function f(x,y) = y^x for positive integers y and x. There are a number of definitions that all give identical results. For example, one idea is to use for our definition:

y^x := 1 \times y \times y \cdots \times y

where the y is repeated x times. In that case, when x is one, the y is repeated just one time, so we get

y^{x} = 1 \times y.

However, this definition extends quite naturally from the positive integers to the non-negative integers, so that when x is zero, y is repeated zero times, giving

y^{0} = 1

which holds for any y. Hence, when y is zero, we have

0^0 = 1.

Look, we’ve just proved that 0^0 = 1! But this is only for one possible definition of y^x. What if we used another definition? For example, suppose that we decide to define y^x as

y^x := \lim_{z \to x^{+}} y^{z}.

In words, that means that the value of y^x is whatever y^z approaches as the real number z gets smaller and smaller approaching the value x arbitrarily closely.

[Clarification: a reader asked how it is possible that we can use y^z in our definition of y^x, which seems to be recursive. The reason it is okay is because we are working here only with z>0, and everyone agrees about what y^z equals in this case. Essentially, we are using the known cases to construct a function that has a value for the more difficult x=0 and y=0 case.]

Interestingly, using this definition, we would have

0^0 = \lim_{x \to 0^{+}} 0^{x} = \lim_{x \to 0^{+}} 0 = 0

Hence, we would find that 0^0 = 0 rather than 0^0 = 1. Granted, this definition we've just used feels rather unnatural, but it does agree with the common sense notion of what y^x means for all positive real numbers x and y, and it does preserve continuity of the function as we approach x=0 and y=0 along a certain line.

So which of these two definitions (if either of them) is right? What is 0^0 really? Well, for x>0 and y>0 we know what we mean by y^x. But when x=0 and y=0, the formula doesn't have an obvious meaning. The value of y^x is going to depend on our preferred choice of definition for what we mean by that statement, and our intuition about what y^x means for positive values is not enough to conclude what it means for zero values.

But if this is the case, then how can mathematicians claim that 0^0=1? Well, merely because it is useful to do so. Some very important formulas become less elegant to write down if we instead use 0^0=0 or if we say that 0^0 is undefined. For example, consider the binomial theorem, which says that:

(a+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} a^k b^{x-k}

 

where \binom{x}{k} means the binomial coefficients.

Now, setting a=0 on both sides and assuming b \ne 0 we get

b^x

= (0+b)^x = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{x}{k} 0^k b^{x-k}

= \binom{x}{0} 0^0 b^{x} + \binom{x}{1} 0^1 b^{x-1} + \binom{x}{2} 0^2 b^{x-2} + \hdots

= \binom{x}{0} 0^0 b^{x}

= 0^0 b^{x}

where, I've used that 0^k = 0 for k>0, and that  \binom{x}{0} = 1. Now, it so happens that the right hand side has the magical factor 0^0. Hence, if we do not use 0^0 = 1 then the binomial theorem (as written) does not hold when a=0 because then b^x does not equal 0^0 b^{x}.

If mathematicians were to use 0^0 = 0, or to say that 0^0 is undefined, then the binomial theorem would continue to hold (in some form), though not as written above. In that case though the theorem would be more complicated because it would have to handle the special case of the term corresponding to k=0. We gain elegance and simplicity by using 0^0 = 1.

There are some further reasons why using 0^0 = 1 is preferable, but they boil down to that choice being more useful than the alternative choices, leading to simpler theorems, or feeling more "natural" to mathematicians. The choice is not "right", it is merely nice.

Prüfungen ohne Ende – und mit wenig Wirkung

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27. Juni 2011, 00:00, NZZ Online

Die Evaluationen in den Schulen drohen zu einem Ritual zu erstarren

Obwohl Schulevaluationen keine direkt messbaren Wirkungen erzielen, wird an den Schweizer Volksschulen je länger, je mehr evaluiert.
Gelernt wurde auch, als es noch keine Schulevaluationen gab: eine Primarklasse in Liestal, 1941.

Gelernt wurde auch, als es noch keine Schulevaluationen gab: eine Primarklasse in Liestal, 1941. (Bild: Keystone / Theodor Strübin)

Sabine Windlin

Spinnendiagramme, Kapitelüberschriften und Inhaltsverzeichnis lassen auf die Zertifizierung einer Bildungsinstitution auf Tertiärstufe schliessen, doch was hier auf über 100 Seiten zusammengefasst wird, sind die Evaluationsergebnisse einer Primarschule, konkret der Landschule in Greppen am Vierwaldstättersee. Das Schulhaus, an dem 12 Lehrer rund 100 Kinder unterrichten, steht direkt neben der Dorfkirche, ist umgeben von einem Spielterrain mit Wippe, Klettergerüst, Schaukeln, schattenspendenden Bäumen und einem kleinen Bächlein.


«Absolute Irrelevanz»

Die Landschule Greppen macht mit bescheidenen Mitteln gute Schule. Sie ist arm an Konflikten, aber reich an Informationen; an Informationen wie diesen: Im Bereich Lernkultur sind 25 Prozent der Lehrpersonen der Ansicht, dass Schwierigkeiten «gut erkannt» werden. – In der Begabungsförderung bewerten 17 Prozent der Eltern Veränderungen als «eher nicht nötig». – Im Bereich Methodenkompetenz sind 6 Prozent der Schüler der Ansicht, dass sie aus Fehlern «genügend» lernen. Beim Fussballspielen, so eine weitere Erkenntnis der Evaluatoren, könne es in Greppen «zu Unstimmigkeiten oder kleinen Streitereien» kommen.


«Was da ins Kraut schiesst», verschaffte sich ein mit Herzblut unterrichtender Lehrer unlängst in einem Rundschreiben zum Reizthema Evaluationen Luft, «ist für Lehrer und Schüler von absoluter Irrelevanz.» Seine Sorge, mit den pfundschweren Berichten würden finanzielle und personelle Ressourcen in Millionenhöhe verschleudert, die den Schulkindern in keiner Art und Weise zugutekämen, quittierten die Adressaten mehr resigniert denn entrüstet: Der Zug der Evaluation, so die vorherrschende Meinung in den Lehrergremien, sei in voller Fahrt und könne nicht mehr gestoppt werden.


Tatsache ist, dass manche kantonalen Fachstellen zunehmend Mühe bekunden, ihr Wirken gegen aussen zu legitimieren. Die Auflösung der Evaluations-Fachstelle wird per parlamentarischer Initiative zwar nur im Kanton Zürich gefordert, doch könnte das von einer CVP-Schulhausleiterin lancierte Begehren auch andernorts hellhörig machen. In 20 Kantonen hat die Evaluation der Volksschulen mittlerweile Fuss gefasst, in 16 davon flächendeckend. Allein in der Deutschschweiz haben die zuständigen – entweder bei den Bildungsdirektionen oder pädagogischen Hochschulen angesiedelten – Fachstellen bisher weit über tausend Schulen evaluiert. Kosten pro Evaluation: 20 000 bis 60 000 Franken. Mitarbeiterstab pro Fachstelle: 6 bis 10 Personen.


Unter Berücksichtigung kantonsspezifischer Unterschiede ist bei den Evaluationen etwa folgende Vorgehensweise auszumachen: Klärung des Evaluationsrahmens, Erstellung eines Schulportfolios, Planungssitzung der Hauptverantwortlichen, Information der Lehrer, Vorbefragung der Eltern, Einbezug der Schüler, Datenerhebung vor Ort mittels mündlich geführter Einzel- und Gruppeninterviews sowie Schulbesuchen und Sitzungsbeobachtungen, Datenaufbereitung, Datenanalyse, Validierungssitzung mit Rektorat, Schulpflege und Schulleitung, mündliche Berichterstattung vor dem Kollegium, schriftliche Berichterstattung mit Handlungsempfehlungen, Reflexion der Ergebnisse, Nachbefragung der Lehrpersonen, Formulierung eines Massnahmenplans.


Nebulöse Erkenntnisse

Ob nun in Glarus, Bern oder St. Gallen – meist klingen die «Handlungsempfehlungen», welche die Evaluatoren abgeben, ähnlich. Zum Beispiel: «Schulhausleiter und Lehrpersonen können den eingeschlagenen Kurs grundsätzlich fortsetzen.» Oder: «Zur Verfügung stehende Zeitgefässe sollten gewinnbringender eingesetzt werden.» Sowie: «Bei der internen Kommunikation ist eine Optimierung anzustreben.» Nach harten Fakten – zu grosse Klassen, zu wenig Platz, schlechte Stimmung, tiefes Leistungsniveau – sucht man vergeblich. Diese Aspekte, rechtfertigen sich die Fachstellen, seien nicht Forschungsgegenstand, sondern «die Schule als Ganzes mit ihren verschiedenen Prozessqualitäten».


Um Eltern, Lehrer, Schüler und Rektorate nicht zu brüskieren oder aus Angst, gegen das Datenschutzgesetz zu verstossen, bleibt der Inhalt meist nebulös. «Doch Berichte ohne jegliche Aussagekraft», so Anton Strittmatter vom Verband Schweizer Lehrerinnen und Lehrer (LCH), «bringen die Schule kein Stück weiter. Die Evaluationen drohen zu einem unproduktiven Ritual zu erstarren.» Ohne zu wissen, was mit den Evaluationen bezweckt wird, bauen viele Kantone ihre Fachstellen weiter aus. Die Universität Bern bietet ab 2012 sogar einen auf Schulevaluationen ausgerichteten Weiterbildungskurs an.


Es ist das Schwammige und Unkonkrete, das nun politische Kreise am Sinn der Sache zweifeln lässt. Doch auch auf Lehrer, die tagtäglich mit den Herausforderungen in Schulzimmer und Klassenverband konfrontiert sind, machen die hochtrabenden Formulierungen wenig Eindruck. Manche fühlen sich durch die aufwendig inszenierten Evaluationen verschaukelt und sehen diese vorab als Folge einer aufgeblähten Bildungsverwaltung. Im Kanton Schwyz überlegt sich ein Teil der Lehrerschaft ernsthaft, die Umfragen zu boykottieren. Andernorts ist die Haltung der Lehrerschaft ambivalent. Wird sie damit behelligt, stellt sie den Nutzen in Zweifel und jammert über die vertrödelte Zeit, wird sie nicht einbezogen, ist sie beleidigt.


Es ist nicht klar, welche Rolle die Fachstellen überhaupt einnehmen. Sehen sie sich als Partnerin der Schule oder als vom Kanton eingesetztes Kontrollorgan? «Beides gleichzeitig können sie nicht sein», meint Strittmatter. Zudem: Sind die Empfehlungen in den Berichten verbindlich oder einfach nur als Anregung zu verstehen? Ob schliesslich Massnahmen auch umgesetzt werden, entzieht sich nämlich oftmals der Kenntnis der Evaluatoren. Denn bis die Nachfolgeevaluation einsetzt – meist verstreichen vier bis sechs Jahre –, sieht die personelle Zusammensetzung des involvierten Schulpersonals oft völlig anders aus, und niemand fühlt sich mehr zuständig für die damals formulierten «Optimierungsempfehlungen».


Auf den Vorwurf, die Evaluationen würden nichts Neues, nichts Relevantes, geschweige denn Überraschendes zutage fördern, reagieren die zuständigen Fachstellen gelassen. Es gehe, heisst es etwa in Luzern, gar nicht darum, Missstände aufzudecken, sondern «Vorhandenes zu offizialisieren». Andernorts entsteht der Eindruck, die Verantwortlichen selber stünden nicht wirklich hinter dem Vorhaben. Mit dem Verweis auf wissenschaftliche Methoden nehmen sich die Ämter aus der Pflicht. Die kantonalen Bildungsdirektionen wiederum verweisen auf die kantonalen Volksschulgesetze, die Evaluationen nahelegen oder gar vorschreiben, um etwa «Funktionsstörungen innerhalb des Wirkungsfeldes Schule zu ermitteln» (Aargau) oder «Steuerungswissen für Behörden zu beschaffen» (Thurgau).


Niemand kann sagen, wie sich im Schulhaus Greppen der Veränderungsbedarf im Bereich Methodenkompetenz seit der letzten Erhebung entwickelt hat. Aber sicher – wenn auch nicht wissenschaftlich erhärtet – ist: Beim Fussball geraten sich die Jungs immer noch gelegentlich in die Haare.